Bibliografia
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http:// jmp25.blogspot.com
BONJORNO, J.R.; BONJORNO, R.A.; OLIVARES, Ayrton.Matemática: Fazendo a diferença.Editora FTD S.A., São Paulo-SP, 2006.
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POTENCIAÇÃO
http://www.youtube.com/watch?v=5tV-6W5_TLA
O CASO DO ZERO
O professor chega à sala de aula e pergunta:- Se 2² é quatro e 2¹ é dois. Quanto é 20?Então deu para perceber que a sala entrou em colapso, alguns alunos diziam dois outros diziam zero, mas não entrevasse em um consenso e formou-se então dois partidos - o do zero e o do dois. Para acabar com a discussão, o professor deu a sentença:- É UM. Dois elevado a zero é um.No inicio os alunos nem ouviram direito a explicação: que coisa mais sem sentido, que loucura era essa?Ao poucos foram se acalmando, e o professor pôde justificar o resultado. Na verdade, é bem simples.Quando escrevemos, por exemplo, 2³, o expoente indica que devemos multiplicar o numero 2 três vezes. A potencia 20, no entanto, nos coloca numa seria dificuldade. Não podemos Multiplicar o fator 2 zero vezes.Durante muito tempo os matemáticos afirmaram que a potencia 20 não existia. Mas uma propriedade da potencia mostrou que havia uma possibilidade de interpretar o zero:Para dividir duas potencias que têm a mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes.2³/ 2³ = 2 ³-³ = 2ºMas:2³/ 2³ = 8/8 = 1Logo:2º = 1.
Onde começa a matemática?
Georg Cantor (1845-1918) introduziu uma grande inovação em matemática. Ele considerou conjuntos infinitos e suas quantidades de elementos tão dignos de um tratamento matemático quanto os conjuntos finitos e os números naturais. Isso causou a ira de alguns matemáticos, como Leopold Kronecker (1823-1891) mas, em compensação, outros ficaram felizes porque a teoria de Cantor forneceu uma demonstração trivial da existência de números transcendentes.
Considere um polinômio com coeficientes racionais, isto é, coeficientes que são frações. Uma raiz desse polinômio é chamada número algébrico. Assim, um número transcendente — aquele que não é algébrico — é um número que não é raiz de nenhum polinômio com coeficientes fracionários. Por exemplo, o número π é um número transcendente (isso não é fácil de se demonstrar!) pois ele não é raiz de nenhum polinômio cujos coeficientes sejam frações. A constante e de Euler (Leonhard Euler, 1707-1783), famosa base dos logaritmos naturais, também é transcendente (esse é mais fácil de se demonstrar, mas não é trivial). Cantor descobriu uma demonstração quase que trivial de que o infinito dos números algébricos é o infinito dos naturais — o menor dos infinitos. Logo o infinito dos transcendentes é maior do que o infinito dos algébricos pois a totalidade dos números reais é o infinito das partes dos naturais. Assim, conclui-se imediatamente que existem transcendentes. E mais: existem transcendentes em quantidade maior do que a quantidade de algébricos!
Cantor estudava problemas de séries trigonométricas e seu pensamento sobre séries de números reais o levou à idéia de comparar quantidades infinitas de números. Cantor inventou a potência de um conjunto, isto é, “sua quantidade de elementos”. Ele logo percebeu que a noção de potência de conjuntos infinitos generalizava a noção de números naturais usados no dia a dia para contagens de objetos. Ao levar adiante suas idéias sobre “números transfinitos”, Cantor acabou criando a Teoria dos Conjuntos. A Teoria dos Conjuntos de Cantor causou um terremoto na matemática da época. A teoria de Cantor, mesmo sendo aceita como ramo independente da matemática, passou a ocupar a posição da teoria dos fundamentos da matemática juntamente com a lógica.
Hoje sabemos que não é possível derivar toda a matemática de uma teoria de conjuntos (fica faltando, por exemplo, uma teoria de categorias e funtores, mas você irá se surpreender com as idéias do genial funcionário da IBM Gregory Chaitin http://www.cs.umaine.edu/~chaitin/), mas sem dúvida alguma é numa teoria de conjuntos que podemos iniciar nossas reflexões matemáticas. É natural, portanto, perguntarmos: quantas “coisas” precisamos saber para começarmos a fazer matemática? Essas “coisas” são os axiomas da teoria. É fascinante o fato de que o número de axiomas que precisamos considerar é muito pequeno. No caso de uma teoria dos conjuntos podemos partir de apenas 9 axiomas (não incluímos alguns poucos axiomas da lógica). Nesses 9 axiomas é que começa a matemática. Para antecipar a sua curiosidade já lhe adiantamos que são necessários 24 axiomas (dependendo do sistema adotado) para você fazer geometria Euclidiana e 13 axiomas para você fazer análise matemática (teoria que generaliza o cálculo).
Iremos nas próximas colunas discutir um “início” possível da matemática para qualquer cidadão autodidata que queira pensar de modo autônomo e evoluir matematicamente por sua própria conta.
Um matemático que não é também um pouco poeta nunca será um matemático completo.
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- Professora Vanessa
- Professora da rede pública do ensino, educadora infantil e acadêmica do curso de licenciatura em Matemática.
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O CASO DO ZERO
O professor chega à sala de aula e pergunta:- Se 2² é quatro e 2¹ é dois. Quanto é 20?Então deu para perceber que a sala entrou em colapso, alguns alunos diziam dois outros diziam zero, mas não entrevasse em um consenso e formou-se então dois partidos - o do zero e o do dois. Para acabar com a discussão, o professor deu a sentença:- É UM. Dois elevado a zero é um.No inicio os alunos nem ouviram direito a explicação: que coisa mais sem sentido, que loucura era essa?Ao poucos foram se acalmando, e o professor pôde justificar o resultado. Na verdade, é bem simples.Quando escrevemos, por exemplo, 2³, o expoente indica que devemos multiplicar o numero 2 três vezes. A potencia 20, no entanto, nos coloca numa seria dificuldade. Não podemos Multiplicar o fator 2 zero vezes.Durante muito tempo os matemáticos afirmaram que a potencia 20 não existia. Mas uma propriedade da potencia mostrou que havia uma possibilidade de interpretar o zero:Para dividir duas potencias que têm a mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes.2³/ 2³ = 2 ³-³ = 2ºMas:2³/ 2³ = 8/8 = 1Logo:2º = 1.
Onde começa a matemática?
Georg Cantor (1845-1918) introduziu uma grande inovação em matemática. Ele considerou conjuntos infinitos e suas quantidades de elementos tão dignos de um tratamento matemático quanto os conjuntos finitos e os números naturais. Isso causou a ira de alguns matemáticos, como Leopold Kronecker (1823-1891) mas, em compensação, outros ficaram felizes porque a teoria de Cantor forneceu uma demonstração trivial da existência de números transcendentes.
Considere um polinômio com coeficientes racionais, isto é, coeficientes que são frações. Uma raiz desse polinômio é chamada número algébrico. Assim, um número transcendente — aquele que não é algébrico — é um número que não é raiz de nenhum polinômio com coeficientes fracionários. Por exemplo, o número π é um número transcendente (isso não é fácil de se demonstrar!) pois ele não é raiz de nenhum polinômio cujos coeficientes sejam frações. A constante e de Euler (Leonhard Euler, 1707-1783), famosa base dos logaritmos naturais, também é transcendente (esse é mais fácil de se demonstrar, mas não é trivial). Cantor descobriu uma demonstração quase que trivial de que o infinito dos números algébricos é o infinito dos naturais — o menor dos infinitos. Logo o infinito dos transcendentes é maior do que o infinito dos algébricos pois a totalidade dos números reais é o infinito das partes dos naturais. Assim, conclui-se imediatamente que existem transcendentes. E mais: existem transcendentes em quantidade maior do que a quantidade de algébricos!
Cantor estudava problemas de séries trigonométricas e seu pensamento sobre séries de números reais o levou à idéia de comparar quantidades infinitas de números. Cantor inventou a potência de um conjunto, isto é, “sua quantidade de elementos”. Ele logo percebeu que a noção de potência de conjuntos infinitos generalizava a noção de números naturais usados no dia a dia para contagens de objetos. Ao levar adiante suas idéias sobre “números transfinitos”, Cantor acabou criando a Teoria dos Conjuntos. A Teoria dos Conjuntos de Cantor causou um terremoto na matemática da época. A teoria de Cantor, mesmo sendo aceita como ramo independente da matemática, passou a ocupar a posição da teoria dos fundamentos da matemática juntamente com a lógica.
Hoje sabemos que não é possível derivar toda a matemática de uma teoria de conjuntos (fica faltando, por exemplo, uma teoria de categorias e funtores, mas você irá se surpreender com as idéias do genial funcionário da IBM Gregory Chaitin http://www.cs.umaine.edu/~chaitin/), mas sem dúvida alguma é numa teoria de conjuntos que podemos iniciar nossas reflexões matemáticas. É natural, portanto, perguntarmos: quantas “coisas” precisamos saber para começarmos a fazer matemática? Essas “coisas” são os axiomas da teoria. É fascinante o fato de que o número de axiomas que precisamos considerar é muito pequeno. No caso de uma teoria dos conjuntos podemos partir de apenas 9 axiomas (não incluímos alguns poucos axiomas da lógica). Nesses 9 axiomas é que começa a matemática. Para antecipar a sua curiosidade já lhe adiantamos que são necessários 24 axiomas (dependendo do sistema adotado) para você fazer geometria Euclidiana e 13 axiomas para você fazer análise matemática (teoria que generaliza o cálculo).
Iremos nas próximas colunas discutir um “início” possível da matemática para qualquer cidadão autodidata que queira pensar de modo autônomo e evoluir matematicamente por sua própria conta.
mAtEmÁtIcA
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Resolução e exercícios propostos
1)Qual o número,exeto o zero, elevado ao expoente 0 é igual a um?
Toda potência de expoente zero tem como base um número inteiro não nulo é igual a 1(um), ou seja, todo número elevado a zero é um.
Toda potência de expoente 1 (um) tem como base um número inteiro é igual a propria base.
2)João,Maria e José são irmãos. Sabendo que João tem dois anos,Maria tem o cubo da idade de João,e José tem o dobro da idade de Maria mais o quadrado da idade de João.Quem é o mais velho? Qual a idade de cada um?
Se João tem 2 anos e Maria tem o cubo da idade de João logo Maria tem 2³,ou seja, 2 X 2 X 2 = 8 anos.
Já José, tem o dobro da idade de Maria, 2X8 = 16 + (mais o quadrado da idade de João - João tem 2 anos e o quadrado de sua idade 2² = 2 X 2 = 4) logo o 16+ 4=20 anos.
Resumindo...
João tem 2 anos, Maria 8 anos e José 20 anos, então o mais velho na história é José.
3)Carla comprou uma pulseira por R$2,00 na loja A, entrando em outra (loja B)percebeu que esta mesma pulseira sairia bem mais caro, pois pagaria o quadrado do valor da loja A. Por quantos sairia a pulseira na loja B? Qual a diferença entre as lojas?
Na loja A a pulseira custa R$2.00
Na loja B a pulseira custa o quadrado do valor ,ou seja, 2² --> 2 x 2 = R$4.00.
Logo, a pulseira na loja B sai o dobro do valor da loja A dando uma diferença de (R$4.00 - R$ 2.00 = R$2.00) dois reais.
4)Calcule a potência:
a) 3² =9
b) 8² =64
c) 2³= 8
d) 3³ = 27
e) 6³ = 216
f) 2 = 16
g) 3 = 81
h) 3 = 243
i) 1 = 1
j) 0 = 0
l) 1 = 1
m) 10² =100
n) 10³ =1000
o) 15² =225
p) 17² =289
q) 30² =900
5) Calcule as potências:
a)40² =1600
b)32² =1024
c)15³ = 3375
d) 30³= 27000
e) 11 =14641
f) 300² = 90000
g) 100³ = 1000000
h) 101² = 10201
6) Calcule as Potências:
a) 11² = 121
b) 20² = 400
c) 17² =289
d) 0² = 0
e) 0¹ = 0
f) 1º = 1
g) 10³ = 1.000
h) 470¹ = 470
i) 11³ = 1331
j) 67º =1
k) 1º = 1
l) 15³ = 3375
m) 1² = 1
n) 1001º= 1
7)Descubra o número que :
a) elevado ao quadrado dá 9
√9 = 3 pois 3² = 3 X 3 = 9
b) elevado ao quadrado dá 25
√25 =5
c) elevado ao quadrado dá 49
√49 =7
d) elevado ao cubo dá 8
³√8 = 2
8) Quanto vale x ?
a) x²= 9 (R:3)
b) x²= 25 (R:5)
c) x²= 49 (R:7)
d) x²= 81 (R:9)
9) Determine a Raiz quadrada:
a) √9 = 3
b) √16 = 4
c) √25 = 5
d) √81 = 9
e) √0 = 0
f) √1 = 1
g) √64 = 8
h) √100 = 10
10) Resolva as expressões abaixo:
a) √16 + √36 = 4 + 6 = 10
b) √25 + √9 = 5 + 3 = 8
c) √49 - √4 = 7 - 2 = 5
d) √36- √1 = 6 - 1 = 5
e) √9 + √100 = 3 + 10 = 13
f) √4 x √9 = 2 x 3 = 6
Toda potência de expoente zero tem como base um número inteiro não nulo é igual a 1(um), ou seja, todo número elevado a zero é um.
Toda potência de expoente 1 (um) tem como base um número inteiro é igual a propria base.
2)João,Maria e José são irmãos. Sabendo que João tem dois anos,Maria tem o cubo da idade de João,e José tem o dobro da idade de Maria mais o quadrado da idade de João.Quem é o mais velho? Qual a idade de cada um?
Se João tem 2 anos e Maria tem o cubo da idade de João logo Maria tem 2³,ou seja, 2 X 2 X 2 = 8 anos.
Já José, tem o dobro da idade de Maria, 2X8 = 16 + (mais o quadrado da idade de João - João tem 2 anos e o quadrado de sua idade 2² = 2 X 2 = 4) logo o 16+ 4=20 anos.
Resumindo...
João tem 2 anos, Maria 8 anos e José 20 anos, então o mais velho na história é José.
3)Carla comprou uma pulseira por R$2,00 na loja A, entrando em outra (loja B)percebeu que esta mesma pulseira sairia bem mais caro, pois pagaria o quadrado do valor da loja A. Por quantos sairia a pulseira na loja B? Qual a diferença entre as lojas?
Na loja A a pulseira custa R$2.00
Na loja B a pulseira custa o quadrado do valor ,ou seja, 2² --> 2 x 2 = R$4.00.
Logo, a pulseira na loja B sai o dobro do valor da loja A dando uma diferença de (R$4.00 - R$ 2.00 = R$2.00) dois reais.
4)Calcule a potência:
a) 3² =9
b) 8² =64
c) 2³= 8
d) 3³ = 27
e) 6³ = 216
f) 2 = 16
g) 3 = 81
h) 3 = 243
i) 1 = 1
j) 0 = 0
l) 1 = 1
m) 10² =100
n) 10³ =1000
o) 15² =225
p) 17² =289
q) 30² =900
5) Calcule as potências:
a)40² =1600
b)32² =1024
c)15³ = 3375
d) 30³= 27000
e) 11 =14641
f) 300² = 90000
g) 100³ = 1000000
h) 101² = 10201
6) Calcule as Potências:
a) 11² = 121
b) 20² = 400
c) 17² =289
d) 0² = 0
e) 0¹ = 0
f) 1º = 1
g) 10³ = 1.000
h) 470¹ = 470
i) 11³ = 1331
j) 67º =1
k) 1º = 1
l) 15³ = 3375
m) 1² = 1
n) 1001º= 1
7)Descubra o número que :
a) elevado ao quadrado dá 9
√9 = 3 pois 3² = 3 X 3 = 9
b) elevado ao quadrado dá 25
√25 =5
c) elevado ao quadrado dá 49
√49 =7
d) elevado ao cubo dá 8
³√8 = 2
8) Quanto vale x ?
a) x²= 9 (R:3)
b) x²= 25 (R:5)
c) x²= 49 (R:7)
d) x²= 81 (R:9)
9) Determine a Raiz quadrada:
a) √9 = 3
b) √16 = 4
c) √25 = 5
d) √81 = 9
e) √0 = 0
f) √1 = 1
g) √64 = 8
h) √100 = 10
10) Resolva as expressões abaixo:
a) √16 + √36 = 4 + 6 = 10
b) √25 + √9 = 5 + 3 = 8
c) √49 - √4 = 7 - 2 = 5
d) √36- √1 = 6 - 1 = 5
e) √9 + √100 = 3 + 10 = 13
f) √4 x √9 = 2 x 3 = 6